一元一次方程
内容介绍：
方程是初中代数的重要内容，许多实际问题都可以通过列方程、解方程来解决。因此我们要认认真真地学好方程的有关知识。
本章先介绍等式的概念和等式的两条性质，复习方程的解，解方程等概念；然后学习运用等式的性质和移项法则解一元一次方程，归纳出解一元一次方程的一般步骤；最后是列方程解应用题。一元一次方程是学习其他方程和方程组的基础。
一、等式和方程
本部分知识的重点是等式的性质和运用这两性质对等式进行变形；方程的有关概念及会检验一个数是不是方程的解。
（一）知识要点：
1．等式：用等号来表示相等关系的式子叫等式。如： + = ，x+y=y+x, V=a3，3x+5=9都叫等式。而象 a+b, m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
2．等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）所得的结果仍是等式。
如： x-5=4，两边都加5得 x-5+5=4+5，即 x=9仍是等式；在这个等式两边都乘以 得， ×x=9× ，即x= ，也仍是等式，这样我们就利用了等式的两个性质解方程。
3．方程的有关概念：
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x-4=8，其中x是未知数；又如3x-2y=5其中x, y是未知数。
（2）未知数：在研究方程之前未知的数叫未知数。如5x-4=8中，x是未知数，而5，-4，8是已知数。
（3）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做根。例如方程2x+5=7，当x=1时，方程左边=2×1+5=7=右边，所以x=1是方程2x+5=7的解，或说x=1是方程的根。
（4）解方程：求得方程的解的过程。
4．会检验一个数是不是一个方程的解：将这个数分别代入方程的左边和右边，看是否使左边等于右边。
如，检验x=5和x=4是不是方程6x-5=2x+11的解。
当x=5时，左边=6×5-5=30-5=25，右边=2×5+11=10+11=22，∴左边≠右边，∴x=5不是原方程的解；
当x=4时，左边=4×6-5=24-5=19，右边=2×4+11=8+11=19，∴左边=右边，∴x=4是原方程的解。
5．会根据已知条件列出方程。
如：根据下列条件列出方程
（1）某数比它的4倍小8。
（2）代数式 与 x+1互为相反数。
解：（1）设某数为x，则所求方程为x=4x-8，或x+8=4x或4x-x=8。
（2） + x+1=0或 =- x-1。
6．同解方程：
（1）同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。如，2x+3=5的解是x=1，
3x+15=x+17的解也是x=1，所以这两个方程是同解方程。
（2）方程同解原理
同解原理1：方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程。
同解原理2：方程两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。
我们解方程的过程是同解过程，教材上所说的运用等式性质解方程，实质上是依据方程的同解原理解方程。
（二）例题：
例1．判断下列各式是不是方程，并说明理由：
(1) 3+5=4+4 (2) 2a+3b (3) x+2y=5
(4) 3+(-2)=8-|7| (5) x+6=3x-5
答：（1）不是方程。因为它是不含未知数的等式；
（2）不是方程。因为它不是等式，它是一个代数式；
（3）x+2y=5是方程，它是含有未知数x, y的等式。
（4）不是方程。因为它是不含未知数的等式。
（5） x+6=3x-5是方程，它是含有未知数x的等式。
注意：方程的概念有两点①是等式，②含有未知数，二者缺一不可。
例2．检验x= 是不是下列方程的解：
（1）5x+2=2 (2) 3x+5=6 (3)6x+ =4
解：（1）当x= 时，左边=5× +2= +2=5 ≠右边，
∴x= 不是原方程的解。
（2）当x= 时，左边=3× +5=2+5=7≠右边，
∴x= 不是原方程的解。
（3）当x= 时，左边=6× + =4+ =4 =右边，
∴x= 是原方程的解。
检验某数是否是方程的解可以用来验证我们解方程的过程是否正确。
例3．根据下列条件列出方程
（1）某数的8倍减去5等于它的4倍加上3；
（2）某数比它的 大7；
（3）某数与3的和的平方比它的平方大4；
（4）某数与5的差的3倍等于33；
（5）某数与-7的和的 与某数加上 的和互为相反数；
（6）某数的平方比它自身的2倍多8。
解：设某数为x，则根据条件列出方程为：
(1) 8x-5=4x+3 (2) x- x=7或x= x+7
(3) (x+3)2-x2=4 (4) 3(x-5)=33
(5) (x-7)+(x+ )=0 (6) x2=2x+8
例4．说出下列变形的依据：
(1) 2x-5=3，2x=8
(2) 3x=27，x=9
(3) -3x= ，x=-
(4) - x=4，x=-12
(5) =2，x+3=10
(6) =x+6，x-2=3x+18
解：（1）根据等式的基本性质1，2x-5+5=3+5，得2x=8
（2）根据等式的基本性质2，3x× =27× ，得x=9
（3）根据等式的基本性质2，-3x×(- )= ×(- )，得x=-
（4）根据等式的基本性质2，- x×(-3)=4×(-3)，得x=-12
（5）根据等式的基本性质2，5×( )=2×5，得x+3=10
（6）根据等式的基本性质2，3×( )=3×(x+6)，得x-2=3x+18
注意：①使用方程同解原理时注意方程两边同时进行相同的变化，不要只顾一边，忘记另一边。 ②当方程某一边是多项式时，要注意使用分配律，避免出现这样的错误：如(6)小题 =x+6两边同时乘以3得x-2=3x+6。
例5．已知x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，求a的值。
分析：已知x=-4是方程的解，所以把x=-4代入方程，左右两边相等，于是有2×(-4)+3|a|=-4-1，这是一个关于|a|的方程，可以把|a|求出来，再进一步确定a的值。
解：∵ x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，
∴ 2×(-4)+3|a|=-4-1，
∴ -8+3|a|=-5，
由等式的基本性质1得：-8+8+3|a|=-5+8，
即3|a|=3，
由等式的基本性质2得：|a|=1，
∴ a=±1。
一元一次方程应用题解析
求在2点20分时时钟的时针和分针所成的最小正角是多少度?
要制造长宽高分别为260mm,150mm.130mm的长方体毛胚，需要截取截面积为130乘130mm2（mm的平方）的方钢多长？
2个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上的数字与个位上的数字的和是这个两位数的1／5，求这个数．
一元一次方程应用题怎么做
一元一次方程，在初一的时候，我们开始接触到的。下面是我给大家整理的一元一次方程应用题解析，供大家参阅!
一元一次方程应用题解析11.列一元一次方程解应用题的一般步骤
(1)审题：弄清题意.(2)找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系.(3)设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解方程：解所列的方程，求出未知数的值.(5)检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.
2.和差倍分问题
增长量=原有量×增长率 现在量=原有量+增长量
3.等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变.
①圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S·h= r2h
②长方体的体积 V=长×宽×高=abc
4.数字问题
一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c.
十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a.
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.
5.市场经济问题
(1)商品利润=商品售价-商品成本价 (2)商品利润率= ×100%
(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量
(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量
(5)商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售.
6.行程问题：路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间
(1)相遇问题： 快行距+慢行距=原距
(2)追及问题： 快行距-慢行距=原距
(3)航行问题：顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.
7.工程问题：工作量=工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
一元一次方程应用题解析2储蓄问题
利润= ×100% 利息=本金×利率×期数
1.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作?
2.兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍?
3.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米， ≈3.14).
4.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长.
5.有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克?
6.某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元.若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件.
7.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费.
(1)某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a.
(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦?应交电费是多少元?
8.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元.
(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案.
(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案?
一元一次方程应用题答案解析1.解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.
根据题意，得 × +( + )x=1
解这个方程，得x= =2小时12分
答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作.
2.解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，
则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x.
由题意，得2×(9+x)=15+x
18+2x=15+x，2x-x=15-18
∴x=-3
答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍.
(点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量)
3.解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得
·( )2x=300×300×80
x≈229.3
答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米.
4.解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为(2x-50)米，过完第一铁桥所需的时间为 分.
过完第二铁桥所需的时间为 分.
依题意，可列出方程
+ = 解方程x+50=2x-50
得x=100
∴2x-50=2×100-50=150
答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米.
5.解：设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为2x克，
那么红色和白色配料分别为3x克和5x克.
根据题意，得2x+3x+5x=50
解这个方程，得x=5
于是2x=10，3x=15，5x=25
答：这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是10克，15克和25克.
6.解：设这一天有x名工人加工甲种零件，
则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4(16-x)个.
根据题意，得16×5x+24×4(16-x)=1440
解得x=6
答：这一天有6名工人加工甲种零件.
7.解：(1)由题意，得
0.4a+(84-a)×0.40×70%=30.72
解得a=60
(2)设九月份共用电x千瓦时，则
0.40×60+(x-60)×0.40×70%=0.36x
解得x=90
所以0.36×90=32.40(元)
答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元.
8.解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，
设购A种电视机x台，则B种电视机y台.
(1)①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购(50-x)台，可得方程
1500x+2100(50-x)=90000
即5x+7(50-x)=300
2x=50
x=25
50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购(50-x)台，
可得方程1500x+2500(50-x)=90000
3x+5(50-x)=1800
x=35
50-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为(50-y)台.
可得方程2100y+2500(50-y)=90000
21y+25(50-y)=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台二是购A种电视机35台，C种电视机15台.
(2)若选择(1)中的方案①，可获利
150×25+250×15=8750(元)
若选择(1)中的方案②，可获利
150×35+250×15=9000(元)
9000>8750 故为了获利最多，选择第二种方案.
一元一次方程应用题路程问题解答公式
抓住几个原则:
(一).分析题中的不变量原则，利用不变量来列方程
(二).用不同的方式表示同一个量原则，以此得到相等关系，从而列出方程
(三)利用"总量等于各个分量之和”原则列方程
具体方法上可以利用平时掌握的一些公式等基本数量关系，也可以抓住问题中的和、差、倍、分关系中的关键词来寻找相等关系。
以上所说，并不单指一元一次方程，所说的方法不可能全面，要学会每一部分知识仍需要同学们自己辛苦，多归纳，多总结，会用了才是你的方法。
一.直接设元法
1.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？
【分析】这道题我们抓住"小型车的车费十中型车的车费=总车费"这一关系列方程，具体设谁为未知数，哪种都可以.
解:设中型汽车有x辆，则小型汽车有(50一x)辆.根据题意，得
12x+8(50一x)=480
解得，x=20
则50一x=50一20=30.
答:中型汽车有20辆，小型汽车有30辆.
(1)和、差、倍、分问题
基本数量关系:增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.
抓住关键性的词语，多、少、倍、几分之几以及原有量、现有量之间的关系导出相等关系.
2.男、女生人数有若干人，男生与女生人数之比为4:3，后来走了12名女生，这时男生人数恰好是女生人数的2倍，求原来男生和女生的人数.
【分析】抓住关键词"男生人数恰好是女生人数的2倍”，也可以理解为女生人数恰好是男生人数的一半，等量关系是:男生人数=2(女生原有人数一走了的人数)或女生原来的人数一走了的人数=男生人数的一半.一般看见有比例关系的条件时，未知数设为一份数，所以.
解:设原来男生人数为4x人，则女生人数为3x人，根据题意，得
3x一12=(4x)/2
解得×=12.
原来男生人数为4x=48
原来女生人数为3x=36
答:原来男生人数为x人，原来女生人数为36人.
(2)体积变化问题
基本数量关系，常见几何图形的面积、周长、体积计算公式.等量关系有，形变体不变，即变形前的体积=变形后的体积形变体积也变，但质量不变，即变形前的质量=变形后的质量.
3.用直径为4厘米的圆柱形钢材，铸造3个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆柱形钢材？
【分析】等量关系是:铸造前圆柱形钢材的体积=铸造后三个圆柱的体积.
解:设需截取x厘米的圆柱形钢材，根据题意得
π(4/2)²x=3×π×(2/2)²×16
解得x=12.
答:需要截取12厘米的圆柱形钢材.
(3)行程问题
这类问题比较复杂，基本数量关系为，路程=速度×时间.
①相向问题的等量关系为:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.
②追及问题的等量关系为:第一，同地不同时出发，前者走的路程=追者走的路程第二，同时不同地出发，前者所走的路程+两地距离=追者所走的路程.
③航行问题基本数量关系:路程=速度×时间，顺水速度=静水速度十水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度，静水速度=(顺水速度十逆水速度)/2，水流速度=(顺水速度一逆水速度)/2.寻等量关系时，抓住两码头之间距离不变，水流速度不变，船在静水中的速度不变的特点来考虑.
注意:行程问题，关注出发的时间、地点及行走的方式，往往画路线图，帮助分析等量关系，同时注意相遇和追击的区别.
4.小红骑车以每小时10km的速度从甲地到乙地，返回时因事绕路而行，比去时多走了8km，虽然速度增加到每小时12km，但比去时还是多用了10min，水甲、乙两地之间的距离.
【分析】注意单位统一，10min=1/6h.设甲、乙两地之间距离为xkm，则去时的时间为x/10，回来的时间为(x十8)/12，根据回来时间比去时多用了1/6h，可列方程
解:设甲、乙两地之间的距离为xkm，根据题意可得
x/10+1/6=(x十8)/12
解得x=30
答:甲、乙两地之间的距离为30km.
5.一艘轮船从A港到B港顺水航行需要4.5小时，从B港到A港逆水航行需要6小时，已知水流速度为每小时2千米，求船在静水中的速度.
【分析】抓住，从A港到B港顺水航行的路程=从B港到A港逆水航行的速程不变.
解:船在静水中的速度为x千米/时，则船在逆水航行的速度为(x一2)千米/时，船在顺水航行的速度为(x+2)千米/时，依题意得
4.5(x+2)=6(x一2)
解得x=14.
答:船在静水中的速度为14千米/时.
(4).劳动力调配问题
将一处的人员调往另一处，一处的人数减少多少，另一处的人数会增加多少，两处的人数之间往往存在着倍分关系，可从题意中的关键性词语找等量关系
6.铸造车间共有工人86人，若每人每天加工A种零件15个或B种零件12个或C种零件9个，应怎样按排加工三种零件的人数，才能使加工后的零件按3个A种零件，2个B种零件和1个C种零件配套？
【分析】等量关系是:加工A种零件的人数十加工B种零件的人数+加工C种零件的人数=86.设有x人加工A种零件，因为3个A零件，2个B零件和1个C零件配套，所以最后A种零件:B种零件:C种零件=3:2:1，也就是15x:(12×加工B种零件的人数):(9×加工C种零件的人数)=3:2:1.所以加工B种零件的人数为5x/6人，加工C种零件的人数为5x/9人.(必须学会这种用未知数表示相关的量).
解:设按排加工A种零件为x人，根据题意得，x十5x/6+5x/9=86
解得x=36
加工B种零件人数为:5x/6=30
加工C种零件人数为:5x/9=20
答:安排36人加工A种零件，30人加工B种零件，20人加工C种零件.
(5).利润问题
基本数量关系为:商品利润=商品售价一商品进价，利润率=利润/进价×100%，销售额=成本(进价)×(1+利润率).
7.某商场以每件80元的价格购进了某种品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
【分析】等量关系为:销售额=进价×(1十利润率)
解:设每件衬衫降价x元，依题意得
400×120+(500-400)(120-x)=500×80×(1+45℅)
解得x=20
答:每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45℅的预期目标.
(6)储蓄问题
基本量的关系为:利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数×(1一利息税)，本息和=本金【1十利率×期数×(1十利息税)】
8.小明买了一年期债券150元，一年到期后小明用本息和正好买了一个价格是162元的书包，问小明买的债券的年利率是多少？(无利息税)
【分析】等量关系是:本息和=本金×(1十利率×期数)
解:设年利率是x，依题意得
150×(1十x)=162
解得x=8℅
答:小明买的债券的年利率是8℅.
(7)工程问题
基本数量关系是，工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和等于工作总量(单位1).
9.一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用了6小时，问甲队实际做了几小时？
【分析】甲队做的时间，也是三队合作的时间，等量关系是，甲、乙、丙合作的工作量+乙、丙合作的工作量=1.
解:设甲队实际做了x小时，依题意得
(1/10+1/15十1/20)x十(1/15十1/20)(6一x)=1
解得x=3.
答:甲队实际工作了3小时.
以方程的两个同解原理为依据，运用把一元一次方程转化为最简方程的思想方法，使学生掌握解一元一次方程的一般步骤。在训练学生正确、熟练地解一元一次方程的同时，培养他们的观察、思维能力。
教学过程
一、 以旧引新，提出问题
1． 复习提问
师：上节课我们学习了比较简单的一元一次方程的解法，先做两道练习：（挂小黑板，出示题目。）
（1） 。（2） 。
（这两道题是根据学生作业中存在的问题编选的。学生练习，教师巡视。发现学生第（1）题都会做，但少数学生缺少解题过程，第（2）题由于解法不同，有两种答案。）
师：第（2）题的两个答案 与 都对。谁来说说解第（2）题的主要步骤和依据。
（两种解法各选一个学生回答，教师根据他们的回答板书。）
生甲：
移项两边除以0.5
0.5x+1=0.2 0.5x= - 0.8 x = - 8/5
同解原理1同解原理2
两边乘以2
生乙：第一步与生甲一样，第二步x = - 1.6
同解原理2
师：请同学讲一讲解这类方程的思路。
（教师根据学生的回答板书。）
一元一次方程的最简的方程 。
使X的系数为1
2． 提出问题
师：在实际问题中碰到的方程并不都是那么简单，例如：（出示小黑板）
（1） 解方程：5x+2 = 7x – 8
（2） 解方程：2 （2x-2）-3(4x-1) = 9(1-x)
(3)解方程： (5y-1)/6 = 7/3
（这三道题分别是课本的例4、例5、例6。）
师：这些比较复杂的一元一次方程怎么解？这是今天我们要学习的。能不能也用“转化”的思想方法求解呢？请同学们先试一试。
[课题引入的方法很多。这里，我采用提出问题的方法引入新课。在复习提问之后紧接着提出问题：比较复杂的一元一次方程能不能也用转化的思想方法求解？这个问题可以使学生产生悬念，激发求知欲。只有学生有了解决问题的要求，调动学生思维的积极性才可能。事实上这个问题一提出，学生的注意力就被引向正确的思维方向，从而使他们的思维迅速定向。]
二、 观察思考，寻求解法
（学生分小组议论，寻求解法。教师参与议论，根据情况作启发、指点。）
师：解这些比较复杂的一元一次方程，可以这样去想：
（1）只要能把这些方程化成最简方程，就可以求出解来，想想怎样朝着最简方程的目标把方程化繁为简？
（2）思考时可以把这些方程与最简方程相比较，想想这些方程主要“复杂”在哪里，然后考虑用什么方法把方程化繁为简。
[培养观察力是发展思维的前提和基础。在教学中要抓住一切机会培养学生的观察能力。我认为对于数学模型（图形或式子）要指导学生观察什么和怎样观察。这里我要求学生观察这三个方程与最简方程的区别，把学生的无意观察引向有目的的观察，引导学生边观察、边思考，去寻求怎样把这些比较复杂的方程化为最简的方程的方法。]
（学生解题，教师巡视，逐一和学生对答案，当多数学生将要做完第（3）题时，教师发问。）
师：第（3）题是怎样解的？我请三位同学上黑板来解。
师：这三个同学的解法，谁比较简便？
（学生中间有的认为乙的解法较为简单，有的认为丙的解法较为简单，两种意见，针锋相对。）
师：我们来看乙的解法，“交叉相乘”实际上是在方程两边同乘以几？（学生齐声呼应：丙，）对!丙在两边都乘以方程中各分母的最小公倍数6，使方程的各项系数都转化成整数，这种“去分母”的方法好!
（教师在学生丙的解答前用红粉笔画一个“√”，并添上“去分母”三个字。）
今后，我们解含有分母的一元一次方程，一般都先“去分母”。
[第（1）、（2）两题，学生自己能够解决，可简单带过，把重点放在第（3）题的几种不同解法的评析上。我鼓励学生发表不同意见，开展讨论，并顺着多数学生的思路，稍加点拨，很快使学生信服并接受“去分母”的方法，这要比用注入的方法把“去分母”灌给学生，效果要好。后者，学生的智力潜能及非智力因素处于静态之中，没有投入教学过程发挥作用；前者，充分重视学生的主体作用，通过教师的鼓励，使学生的智力因素及非智力因素由静态转入动态，有利于激发学习的内驱力，从而充分调动学生的学习积极性。]
三、 小结归纳，整理知识
师：在解上述方程的过程中，我们曾经用过哪几种方法？这些方法的依据是什么？
（根据学生的回答，教师将正确的结论填入下面预先划好的表格中，表中（1）、（3）、（5）三行用红色粉笔写。）
师：谁再来说说进行上述各个步骤的目的是什么？
（学生回答，教师复述，揭开下表中目的一栏。）
方法 依据 目的
（1）去分母 同解原理2 使各项系数转化成整数
（2）去括号 去括号法则乘法分配律 有利于移项、合并同类项
（3）移项 同解原理1 使含未知数的项和已知项分别集中
（4）合并同类项 合并同类项法则 减少含有未知数的项
（5）两边除以未知数的系数 同解原理2 使未知数的系数转化为1
师：这里，我们清楚地看到，无论怎样复杂的一元一次方程，利用方程的同解原理经过上述变形[指出表中的第（1）列]都可以化为“最简方程”，然后在方程两边除以未知数的系数把解求出来，这就是解一元一次方程的一般步骤。（板书）
（1）-（4）
“比较复杂的一元一次方程”最简方程
（5）
[处理这部分教材的方法，通常以教会学生掌握解法步骤为重点，而我却紧紧抓住同解原理，让学生以此为据进行方程的变形，达到使方程逐步化成 型的目标。这样，解法步骤就成为这个过程的自然归纳。这节课着重引导学生探求解法的思路，有利于引导学生动手、动脑去整理自己的思路。学生通过对所学知识内容进行逻辑的分析、综合与分类，归纳整理，不仅能使学生全面地掌握基础知识，而且可以培养学生思维的组织性。]
四、 练习说讲，双向反馈
1． 巩固性练习与评讲
练习一 解下列方程：
[第（2）题是课本的例7，学生在去分母时，对常数1也要乘以公分母这一点容易忽略，为此编选第（1）题。]
（学生练习，教师巡视，进行个别辅导。在多数同学开始做第（2）题时，请一位同学板演第（2）题。）
生：去分母，得
……
师：（手指着题目）这里1应该乘以12，（指着学生的板演解答）噢!他没有忘记乘。好，看看他解得对不对？
生：不对， 去分母时，分子 没有添上括号。
师：（指着板演的学生，面带笑容）你是不是因省略了步骤而搞错的？（面对大家）X X同学指出得对，我们要注意防止这类错误，初学时不要省略步骤。这里，如果补上“ ”这一步，就不容易发生错误了。要注意按照解一元一次方程的一般步骤（指着表格）进行。
2． 思考性练习，讨论与评讲
练习二解下列方程：
(1) 2(x-1)+5(x-1)=1-8(x-1)
(2) 5(y-1)-3(1-y)+7(1-y)=100
（解这类方程，一般会有以下两种不同的解法：王码电脑公司软件中心种是按“一般步骤”解；另一种是把某一个代数式如题中的 分别看作未知数Y、X来解。教师有意识地选择两位不同解法的同学上黑板解第（2）题。）
师：（指着两个学生）他们解得对不对？（学生齐声呼应：对!）他的过程怎么这样简单？（指着这个学生）你是怎么想的？
生：我把 看作是一个未知数，用X表示，那么 就是-X。
师：他的解法好，还有点“创造性”呢!平时他肯动脑筋，所以好的想法就出来了，这种把 看作是一个未知数Y、X的方法叫做“换元法”，以后我们会深入学习的。从上面可以看出，由于方程的形式不同，我们在解方程时，并不一定非要按“一般步骤”来解，也不是每一个步骤一定都要用到，我们要仔细观察，善于抓住方程的特点，选择合理的解法。
3． 小结
师：这一节课我们主要学了哪些知识和方法，谁来小结一下？
生甲：这一节课我们学习了解一元一次方程的一般步骤。
生乙：还学习了每一步的依据。
生丙：还学习了“换元法。”
师：同学们小结得很好，我们就要这样，边学习、边归纳整理。这节课里我们探索、研究了比较复杂的一元一次方程的解法。基本思路是“转化”，（板书带·的词，下同，指着原有的板书。）转化的目标是“最简方程”，转化的依据主要是角方程的两个“同解原理”，转化的一般步骤，课本中已有小结。（让学生翻开课本，默读有关的黑体字。）但这不是绝对的，我们要善于观察，认真思考，“因题制宜”，讲究转化的“艺术”，尽量用合理的方法，做到正确、迅速。
[在练习、评讲、小结等教学环节中，形成师生之间和同学之间的“双向反馈”是很重要的。例如，在学生练习中发现的错误可及时补救，以达到“以新带旧、查漏补缺”的目的。这样，教师的指导就具有明显的针对性。又如，在学生小结中，他们只是就事论事地罗列学过的知识方法，我就从思维的一般方法上加以补充小结，使学生在思想方法上得到熏陶。]
五、 因材施教，发展个性
1． 布置作业
在课本中选择三道必做题，一道选做题，再补充以下两道选做题。
解方程：
（1） 7(2x+1)-3(4x-2)-5(x+1/2)=1
（2） 1/3[2(9x+2)- ]=1.
2． 思考题
求二十五个连续整数；使前十五个整数的和等于后十个整数的和。
（留五分钟，让学有余力的同学思考、解答上题，其余学生做作业。在中、小学衔接教学中，学生已经接触过求连续自然数的和的问题，因此总会有王码电脑公司软件中心一些学生用下面的方法求出答案，下课前只公布答案，让有兴趣，但尚未求出答案的学生课后再做。）
设最小的整数为x.
X+(x+1)+(x+2)+…….+(x+14)
=(x+15)+(x+16)+…….(x+24),
15x+ (1+2+3+……+14)= 10x + (15+16+…… +24),.
15x+105= 10 x + 195,
解得 x=18
答：这二十五个连续整数是18，19，20，……42.
[由于学生的思维素质存在一定的差异，为了使基础较差的学生“吃得了”基础较好的学生“吃得饱”，教学要贯彻“因材施教”的原则，为此我在安排教学包括布置作业上都留有余地，使教学有弹性，便于取舍。对基础较差的学生，着重进行思维的基本训练，注意学习习惯的培养，适当降低难度，以提高他们学好数学的信心；而对基础较好的学生，应当适当加大难度，有时还要适当拓宽知识，让学生有思考的余地，提高他们学习数学的兴趣。像上面思考题和选做题这样的题目，我在备课时一般都要编选几道，供学有余力，又有兴趣的同学选做，日积月累，对训练和培养他们的思维素质，发展学生的个性有积极的作用。]
自我评述
我认为学生过程，实际上是他们不断思维的过程，教师应该是这个思维过程的“导演”而不是“演员”。因此，本教案的设计以培养和训练学生的思维素质为宗旨，采用“教师引在前，讲在后；学生想在前，听在后”的教学方法。其主要特点是：
（1）“整章设计，分段疏通，”即重视知识的整体结构，按学生的认识水平，为学生设计单元的最佳学习过程，并在分段实施过程中，当学生感到困惑时，教师给予必要的帮助。这节课在第一阶段（五节课）学生理解、掌握了方程的同解原理和会解简单的一元一次方程（课本例1-例3）的基础上，着重引导学生运用方程的同解原理去探求解一元一次方程的基本思路，后面安排三节课巩固、消化，帮助学生形成一定的解题技巧。这样安排，一方面使整个单元内容连贯、紧凑、重点突出，另一方面符合学生的认识规律，有“快”、有“慢”，节奏感强，“快”和“慢”得到了辩证的统一。正因为前面五节课的“慢”（在同解原理与简单的一元一次方程的解法同步穿插进行教学，用了较多的时间，让学生初步接触了“转化”的思想方法），这节课的“快”才有基础。在学生初步掌握了解一元一次方程的基本思路后，是“精雕细刻”的阶段，用两、三节课，让学生通过积极、主动的思维，“循序前进”（区别于习惯上的“循序渐进”）。
（2）“看、想、记=问、议、练、查、结”，这是学生在教学过程中积极思维的主要活动形式。所谓“优化组合”就是教师根据一节课的教学目标及其在单元学习中的地位，选择若干活动形式，如这一节课以“议”、“练”、“结”这主，针对学生掌握知识的薄弱环节，抓住他们对某个问题的不同意见，组织他们展开讨论。如这节课“去分母”的引入，有时也让一部分学生碰点“钉子”，吃点“苦头”，然后组织他们交流“碰钉子”的体会。通过同学之间的这种信息交流，取长补短，让每个学生的眼、耳、口、手、脑五官齐动。当学生获得了其他同学或教师的信息和思想后，或使他们的思维畅通，或激发起进一步思维的积极性。这样做，有利于最大限度地调动全班各层次学生的思维主动性，切实保证学生在教学双边活动中的主体地位。
（3）“引导、疏通、点拨、激发”，这是教师在教学过程中充分发挥主导作用的主要做法。例如，这一节课一开始教师提出问题，引导学生观察所给方程与“最简方程”的区别，探求解法的基本思路；在学生“去分母”产生错误与小结归纳发生困难时，教师帮助排难解惑，加以疏通；在发现少数学生不按“一般步骤”解时，教师及时加以肯定，并在思想方法上加以点拨，开阔学生的思路，激发他们寻求合理解法的积极性。总之，在教学的双边活动中，只要教师对学生的反馈信息的质的判断准确，能及时果断地处理它，那么教学效果一定较好。我期望通过老师的“引”，点燃学生思维的火花；通过老师的“疏”，使学生的思维流畅；通过教师的“点”，使学生的思维跨入新的高度；通过老师的“激”，激起学生思维的热情，使学生的思维处于最佳状态，真正使教师成为学生思维过程的“导演”。同时，教师还应该是学生积极思维的“鼓动者”。教师要抓住学生的心理变化特点，“引”在关键，“疏”在需要，“点”在要害，“激”在心坎。在课堂教学中师生之间的对话与交往，不仅要交流思维方法，还要重视思想与情感的交流。例如，这一节课中，有位学生解题的方法很巧，但讲不清楚，我还是表扬了他，使他感到是一种鼓励。可以这样说，一节课的成功，某种意义上是师生之间交往的成功，是学生的“智力因素”与“非智力因素”同时得到开发的结果。
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