牛顿莱布尼兹公式

函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且

b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)

这即为牛顿—莱布尼茨公式.

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程：

我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：

b(上限)∫a（下限）f(x)dx

现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：

Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx

但是这里x出现了两种意义,一是表示积扰或哪分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：

Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt

接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：

1、定义函数Φ(x)= x(上团察限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).

证明：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量

ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt

显然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,

也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.)

当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)

可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).

2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函数.

证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x）

但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C

于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)

把t再写成x,就变成缓码了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.

高等数学高阶导数莱布尼兹公式

莱布尼茨公式通俗理解：这个公式完全与二项式展开类似的，如果知道二项式展开公式的话，这个就很容易记住了。这个公式也可以这样记忆：把（u+v）按二项式定理展开。

扩展资料告孙

　袜拆链　通俗理解

(a+b)^n=C(n,0)b^n+C(n,1)ab^(n-1)+...+C(n,n-1)a^(n-1)b+C(n,n)a^n

然后把所有的次方换成求导，就是(uv)的.n阶导数公式。

(uv)^(n)=C(n,0)uv^(n)+C(n,1)u'v^(n-1)+...+C(n,n-1)u^(n-1)v'+C(n,n)u^(n)v

不过御明注意，第一项和最后一项要补上不求导的函数。

基本信息

莱布尼茨公式=（uv）’=u'v+v'u

一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有

也可记为

符号含义

Σ--------------求和符号；

C(n,k)--------组合符号，即n取k的组合；

u^(n-k)-------u的n-k阶导数；

v^(k)----------v的k阶导数。

数学莱布尼茨公式是什么？

莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。

(uv)' = u'v+uv'，

(uv)'‘ = u'’v+2u'v'+uv'‘

依数学租唯归纳法，……，可证该莱布尼兹公式。拦答

各个符号的意义

Σ--------------求和符号

C(n,k)--------组合符号，即n取k的组合

u^(n-k)-------u的n-k阶导数

v^(k)----------v的k阶导数

这个公式和排列组合中的二项式定理相似，二项式定理中的多少次方在这里改为多少阶导数。

（uv）一阶导=u一阶导乘以v+u乘以v一阶导

（uv）二阶导=u二阶导乘以v+2倍u一阶导乘以v一阶导+u乘以v二阶导

（uv）三阶导=u三阶导乘以v+3倍u二阶导乘以v一阶导+3倍u一阶导乘以v二阶导+u乘以v三阶导

扩展资料：

莱布尼茨公式的推导弊衡培过程

如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，

u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n)= u(n)± v(n)

至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：

(uv)' = u'v + uv'

(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''

(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''

参考资料来源：百度百科-莱布尼茨公式

牛顿布莱尼茨公式是什么 推导过程有哪些

莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法兆蠢则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。

一稿塌般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么键猜圆此时有

莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。

微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。

牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”。

牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基蔽族本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。那么，牛顿布莱尼茨公式是什么呢？下面我整理了一些相关信息，供大家参考！

牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且

从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)

其意义就在于把不漏脊定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.

证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,

则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)

当Δx很小时,

F(x1)-F(x0)=F’(x1)*Δx

F(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx

……

F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx

所以,

F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx

当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与宏搜弊曲线积分，从一维推广到多维。

以上就是关于牛顿莱布尼兹公式全部的内容，如果了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！