一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式=b²-4ac
这个判别式是根据方程的求根公式得来的，因为
ax²+bx+c=0===>a(x+b/2a)²-b²/4a+c=0===>x=[-b±√(b²-4ac)]/2a
从求根公式可以看出，b²-4ac的结果决定了方程是否具有实数根，或具有什么样的实数根，所以，就称b²-4ac为一元二次方程的判别式，符号△
（1）当△=0时，方程具有一个实数根（或两个相等实数根）
（2）当△<0时，方程无解
（3）当△>0时，方程具有两个不相等实数根
根据求根公式和判别式，推导出韦达定理
假设一元二次方程具有两个实数根x1、x2，则这两个实数根的关系为：
x1+x2=[-b+√△]/2a+[-b-√△]/2a=-b/a
x1x2=[-b+√△]/2a×[-b-√△]/2a=c/a
当然，上述条件成立（包括判别式）的首要条件是a≠0
负x2+2|x|+3的视频讲解
判别式即判定方程实根个数及分布情况的公式。
根的判别式是判断方程实根个数的公式，在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b^2-4ac，用“Δ”表示(读做“delta”)。
一元二次方程判别式的应用
（1）解方程，判别一元二次方程根的情况．
它有两种不同层次的类型：
①系数都为数字；
②系数中含有字母；
③系数中的字母人为地给出了一定的条件．
（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系．
（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）
应用：
① 解一元二次方程，判断根的情况。
② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④ 应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点
联立方程。
⑦ 可以判断抛物线与x轴有几个交点。
如何用判别式法求函数值域？
x²+2|x|+3=0，
当x=0时，方程明显不成立；
当x＞0时，方程为x²+2x+3=0，
判别式△=2²-4×3=-8＜0，所以方程没有实数根；
当x＜0时，方程为x²-2x+3=0，
（x-1）²=2，
x1=1+√2＞0，所以舍去，
x2=1-√2，满足条件。
所以综上，x=1-√2
对于分式函数 y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) ：
由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，因此“求f(x)的值域。”这一问题可转化为“已知关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，求y的取值范围。”
把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式（＊），令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：
（1）当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程（＊）中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求，……
（2）当二次项系数不为0时，∵x∈R，∴Δ≥0，……
此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形。
原问题“求f(x)的值域。”进一步的等价转换是“已知关于x的方程 y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c 至少有一个实数解使得 dx^2+ex+f≠0，求y的取值范围。”
【举例说明】
1、当函数的定义域为实数集R时
例1 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.
解：由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0，所以函数的定义域是R.
去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.（＊）
(1)当y≠1时，由△≥0得0≤y≤4
(2)当y=1时，将其代入方程（＊）中得x=0.
综上所述知原函数的值域为〔0，4〕.
2、当函数的定义域不是实数集R时
例2 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.
解：由分母不为零知，函数的定义域A={x|x≠-2且x≠1}.
去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0. （＊）
(1)当y≠1时，由△≥0得y^2≥0�y∈R.
检验：由△=0得y=0，将y=0代入原方程求得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，
所以y≠0.
(2)当y=1时，将其代入方程（＊）中得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，
�
所以y≠1.
综上所述知原函数的值域为{y|y≠0且y≠1}.
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