数列极限存在的性质有一个是说,当n→+∞时,如果x(n+1)与xn的比值是一个定值r<1,那么数列一定收敛,也就是极限存在。所以有:
这样就能说明数列收敛,也就是极限存在。
至于要求这个极限,则可以用夹逼定理来求。也就是x(n+1)和xn当n→+∞时极限是相等的,所以对设这个极限是t,然后对等式左右两边同时取极限,有:
然后很明显xn是大于零的,所以只能取t=3,也就是最后极限值是3.
高数求极限
函数:f(x)、g(x),当:lim (x-->a) f(x)/g(x) = 0/0 (或 ∞/∞) 时,
(称为0/0型和∞/∞型不定式),此时可用‘罗毗达法则’作极限计算:
1,lim (x-->a) f(x)/g(x) = lim (x-->a) f ‘(x)/g ’(x)
如果,lim (x-->a) f ‘(x)/g ’(x) 仍然是不定式 0/0 或 ∞/∞,那么再
用一次‘罗毗达法则’:
2,lim (x-->a) f(x)/g(x) = lim (x-->a) f ‘’(x)/g ’‘(x)
直到求出极限为止.
举例
① 求 lim(x->0) sin x / x 极限:当x->0时,sin x/x,变成0/0型不定式,用罗氏法则:
lim(x->0) sin x / x = lim(x->0) cos x / 1 = 1
② 求 lim(x->∞) x^3/e^x 的极限:当x->∞)时,x^3/e^x,变成∞/∞)型不定式,用罗氏法则:
lim(x->∞) x^3/e^x = lim(x->∞) 3x^2/e^x = lim(x->∞) 6x/e^x = lim(x->∞) 6/e^x = 0
高数中的极限如何求?
let
2a/(x+a)= 1/y
2ay = x+a
x = 2ay -a
lim(x->∞) [ 1-2a/(x+a) ]^x
=lim(x->∞) ( 1-1/y )^(2ay -a)
=lim(x->∞) ( 1-1/y )^(2ay)
=e^(-2a)
一、利用极限四则运算法则求极限
函数极限的四则运算法则:设有函数,若在自变量f(x),g(x)的同一变化过程中,有limf(x)=A,limg(x)=B,则
lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B
lim[f(x)・g(x)]=limf(x)・limg(x)=A・B
lim==(B≠0)
(类似的有数列极限四则运算法则)现以讨论函数为例。
对于和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则,但使用这些法则,往往要根据具体的函数特点,先对函数做某些恒等变形或化简,再使用极限的四则运算法则。方法有:
1.直接代入法
对于初等函数f(x)的极限f(x),若f(x)在x点处的函数值f(x)存在,则f(x)=f(x)。
直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式,若有意义,其极限就是该函数值。
2.无穷大与无穷小的转换法
在相同的变化过程中,若变量不取零值,则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。
(1)当分母的极限是“0”,而分子的极限不是“0”时,不能直接用极限的商的运算法则,而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系,先求其的极限,从而得出f(x)的极限。
(2)当分母的极限为∞,分子是常量时,则f(x)极限为0。
3.除以适当无穷大法
对于极限是“”型,不能直接用极限的商的运算法则,必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。
4.有理化法
适用于带根式的极限。
二、利用夹逼准则求极限
函数极限的夹逼定理:设函数f(x),g(x),h(x),在x的某一去心邻域内(或|x|>N)有定义,若①f(x)≤g(x)≤h(x);②f(x)=h(x)=A(或f(x)=h(x)=A),则g(x)(或g(x))存在,且g(x)=A(或g(x)=A)。(类似的可以得数列极限的夹逼定理)
利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。
三、利用单调有界准则求极限
单调有界准则:单调有界数列必有极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程,可求出极限。
四、利用等价无穷小代换求极限
常见等价无穷小量的例子有:当x→0时,sinx~x;tanx~x;1-cosx~x;e-1~x;ln(1+x)~x;arcsinx~x;arctanx~x;(1+x)-1~x。
等价无穷小的代换定理:设α(x),α′(x),β(x)和β′(x)都是自变量x在同一变化过程中的无穷小,且α(x)~α′(x),β(x)~β′(x),lim存在,则lim=lim。
五、利用无穷小量性质求极限
在无穷小量性质中,特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。
六、利用两个重要极限求极限
使用两个重要极限=1和(1+)=e求极限时,关键在于对所给的函数或数列作适当的变形,使之具有相应的形式,有时也可通过变量替换使问题简化。
七、利用洛必达法则求极限
如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x)与g(x)都趋于零或趋于无穷小,则可能存在,也可能不存在,通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式,对于该类极限一般不能运用极限运算法则,但可以利用洛必达法则求极限。
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