两题高中物理，向心力类

一. 本周教学内容：

第七章 复习与检测

二. 知识要点与重难点解析：

1. 知识归纳总结

2. 基本方法归纳总结

（1）思维方法

涉及解决天体运动问题的思维方法是将天体运动建立理想化模型，从而简化天体运动的有关计算。

① 把天体看成质点，天体之间的作用力，F=。r即两个质点间的距离，如果是两个匀质球体，则r表示两个球体球心间的距离。

② 物体在星球表面所受的重力（近似）等于它们之间的万有引力,mg=。忽略星球自转带来的影响。

③ 天体的运动看成质点的匀速圆周运动，天体做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供，涉及的公式有

=ma向=m=mrω2=mωv=mr。

本章涉及的题目多为以上理想化条件下的四类公式的应用，学习时应认真领会。

（2）计算重力加速度的方法

① 在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。

g===9.8（m／s2）=9.8（N／kg）。

即在地球表面附近，物体的重力加速度g=9.8m／s2。这一结果表明，在重力作用下，物体加速度大小与物体质量无关。

② 计算地球上空距地面h处的重力加速度g’。由万有引力定律可得：

又g= ∴ =，g’=g=g。

③ 计算任意天体表面附近的重力加速度g’。由万有引力定律可得：

g’=（M’为星球质量，R’为星球的半径），

又g= ∴ =

（3）估算天体的质量和密度

① 中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：

=mr.∴ M=

② 中心天体的密度

方法一：中心天体的密度表达式：ρ=，V=，（R为中心天体的半径），根据前面M的表达式可得：ρ==，当r=R，即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ=

此时表明只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间周期T，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。

方法二：由g=，M地=进行估算，ρ= ∴ ρ=

3. 专题归纳总结

（1）应用万有引力定律列式的思路和技巧

应用万有引力定律列式时牵涉到三项：万有引力F万、重力G、向心力F向，就问题不同选取其中两项组成等式列方程。选取哪两项组成方程，是解决问题的关键。

一般情况下，凡是牵涉（已知或求）中心天体质量、密度等物质量时，用万有引力F万一项。凡是牵涉物体重力加速度时，用重力G重一项，表达式为G重=mg，g应为天体（如卫星、宇宙飞船等）所在处的重力加速度。凡是牵涉天体做圆周运动的周期T、角速度ω、线速度v、向心加速度a等运动学量时用向心力F向一项，这一项表达形式多样，F向=mrω2=mv2／r=4π2mr／T2=mωv=ma，解题时选用要准确，公式不能写错。三项中选准两项组建方程，解决问题就方便了。另外注意的应是明确各物理量的意义。不能含糊不清，甚至乱套公式。

（2）常用变换式GM=gR2的运用

万有引力定律揭示了自然界中一种基本的相互作用规律，并且它把地面上物体运动的规律与天体运动的规律统一了起来。大家知道，在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为=mg，且有GM=gR2。即用地球半径的平方与重力加速度的乘积代替地球质量与万有引力常量的乘积，这是一个常用的变换式。在应用万有引力定律分析天体运动问题时，常把天体的运动近似看成是做匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供，即= m。这样一来，我们便可以应用变换式GM=gR2来分析讨论天体的运动。

（3）对“人造卫星几个速度”的理解

① 发射速度：是指卫星直接从地面发射后离开地面时的速度.相当于在地面上用一门威力强大的大炮将卫星轰出炮口时的速度，发射卫星离开炮口后，不再有动力加速度。

② 环绕速度（即第一宇宙速度）：

是指地球卫星的最小发射速度，在地面附近，卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，而万有引力近似等于重力，所以有mg= m，即环绕速度。

v1=（R为地球半径，g是地面附近的重力加速度）

③ 第二宇宙速度（脱离速度）：11.2km/s，是指使物体可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运行的人造卫星（或飞到其他行星上去）的最小发射速度。

④ 第三宇宙速度（逃离速度）：16.7km／s，是指使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度。

⑤ 轨道速度：人造卫星在高空沿着圆轨道或椭圆轨道运行。若沿圆轨道运行，此时F向=F引，即= m。

所以v=

式中M为地球质量，r为卫星与地心之间的距离，v就是卫星绕地球运行的速率。

此式适用于所有在绕地球圆轨道上运行的行星，由于v∝，所以v随r的增大而减小，即卫星离地球越远，其轨道速率就越小，当r=R地时，v=v1，即第一宇宙速度是轨道速度的特例；当r>R时，v<v1。因此轨道速度总小于等于第一宇宙速度.换句话说，卫星绕地球运行的最大速度是7.9km／s。

问题讨论：既然卫星离地越远，速率越小，为什么发射高空卫星反而不易

分析：如果发射速度大于第一宇宙速度，卫星将在高空沿圆轨道或椭圆轨道绕地球运行。离地面越远，卫星的重力势能就越大，因而，发射卫星所需的能量就越多。因此发射高轨道人造地球卫星的技术难度是很大的。实际发射人造地球卫星时，并不是一下子就把卫星轰出地球的，而是利用多级火箭，使卫星逐步加速，当卫星到达预定的轨道时，速度也正好达到该处的轨道速度。

【典型例题】

[例1] 已知地球的质量和半径分别为月球的质量和半径的82.9倍和3.66倍，地球表面的重力加速度为9.81m／s2，求月球表面的重力加速度值。

解析：在地球表面的重力加速度表达式为 g=，在月球表面的重力加速度表达式为g'=。 ∴ =·

g’=g=×3.662×9.81m/s2 =1.59（m/s2）

[例2] 一个登月的宇航员，能否用一个弹簧秤和一个质量为m的砝码，估测出月球的质量和密度，写出表达式。（已知月球半径R）

解析：设月球的质量为M，根据万有引力定律，月球表面的重力加速度可表示为 g=，则月球的质量和密度可表示为 M=①

ρ== ④

将砝码用弹簧秤竖直悬挂，根据弹簧秤读数F得

F=mg，g=③

将③式代入①、②式可得M=，ρ=

[例3] 卫星绕地球做匀速圆周运动，试估算最小周期为多少?

解析：设周期为T，由牛顿第二定律得

==mr

解得T=2π

将GM=gR2代入上式得

T=2π

由上式知，轨道半径r越小，周期也越小，当卫星沿地球表面运行时，即r=R时，周期最小，此时：

Tmin=2π=5075 s

[例4] 已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v2=，其中G、m、R分别是万有引力恒量、地球的质量和半径。已知G=6.67×10-11N·m2／kg2，c=2.9979×108m/s。

（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量m=1.98×1030kg，求它的可能最大半径；

（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27kg／m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宁宙，问宇宙的半径至少多大?

解析：（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v2=，其中，m、R为天体的质量和半径。对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即 v2＞c，所以R＜==2.93km

即质量为1.98×1030kg的黑洞的最大半径为2.93km。

（2）把宇宙视为一普通天体，则其质量为M=ρ·V=ρ·，①

其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为

v2= ②

由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v2>c，③

则由①②③式可得R>=4.23 ×1010光年，即宇宙的半径至少为4.23×1010光年。

【模拟试题】

1. 人造卫星由于空气阻力作用，轨道半径不断缓慢缩小，则（）

A. 卫星的运行速度减小 B. 卫星的运行速率增大

C. 卫星的运行周期变大 D. 卫星的向心加速度变小

2. “发现”号宇宙飞船曾成功地与环绕地球的国际空间站对接，那么在对接前，飞船为了追上轨道空间站，可以采取的措施是（）

A. 只能任低轨道上加速 B. 只能在高轨道上加速

C. 只能在空间站运动轨道上加速 D. 不论什么轨道，只要加速就行

3. 在绕地球运转的多种卫星中，有的是通讯卫星，有的是气象卫星，有的是侦察卫星，所有的通讯卫星都是同步卫星，而有些气象（侦察）卫星的运动轨迹则通过南、北两极的正上方，这样的卫星称为极地（间谍）卫星，则同步卫星和极地卫星相比，观察范围较大的是（）

A. 同步卫星

B. 极地卫星

C. 不论是哪种卫星，轨道半径大的观察范围较大

D. 不能确定

4. 同步卫星到地心的距离为r，加速度为a1，运行速率为v1，地球半径为R，赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2。第一宇宙速度为v2，则（）

A. = B. =（）2

C. =（）2 D. =

5. 据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度v的大小与该层至行星中心的距离R，则以下判断中正确的是（）

A. 若v与R成正比，则环是连续物

B. 若v与R成反比，则环是连续物

C. 若v2与R成正比，则环是卫星群

D. 若v2与R成反比，则环是卫星群

6. 设地面附近重力加速度为g0，地球半径为R0，人造地球卫星的圆形轨道半径为R，那么以下说法正确的是（）

A. 卫星在轨道上向心加速度大小为

B. 卫星运行的速度大小为

C. 卫星运行的角速度大小为

D. 卫星运行的周期为2π

7. 地球的同步卫星质量为m，离地面的高度为h，若地球的半径为R0，地球表面处的重力加速度为g0，地球自转角速度为ω0，则同步卫星所受的地球对它的万有引力的大小为 （）

A. 等于零 B. 等于

C. 等于mD. 以上结果都不正确

8. 在离地面高为h处的人造地球卫星的周期为T，已知地球质量为M，半径为R，地球表面的重力加速度为g.则下面表示T的公式正确的是（）

A. T=2πB. T=2π（R+h）

C. T=2π D. T=2π

9. 已知绕中心天体作匀速圆周运动的星体的轨道半径为r，运行周期为T

（1）中心天体的质量M= ；

（2）若中心天体的半径为R，则其平均密度ρ= ；

（3）若星体是在中心天体的表面附近作匀速圆周运动，则其平均密度的表达式ρ= 。

10. 一卫星绕地球运转的轨道离地面高度恰好是地球表面半径的2倍，则该卫星的线速度为 km／s。

11. A为地球赤道上放置的物体，随地球自转的线速度为v1，B为近地卫星，在地球表面附近绕地球运行，速度为v2，C为地球同步卫星，距地面高度均为地球半径的5倍，绕地球运行的速度为v3，则vl：v2：v3=。

12. 地球绕太阳公转的轨道半径为R1，公转周期为T1，月球绕地球公转的轨道半径为R2，公转周期为T2，则太阳和地球的质量之比为 。

13. 已知火星的半径为R，自转周期为T0，某一贴近火星表面飞行的卫星的运动周期为T，试问若在火星上发射卫星，则发射速度至少为多大?

14. 在某一星球上做火箭发射实验时，火箭始终在垂直于星球表面的方向向上运动，火箭点火后经过4s火箭熄灭。测得火箭上升的最大高度为80m，若大气阻力和燃料质量不计，且已知该星球的半径为地球的1／2，质量为地球的1／8，地球表面的重力加速度g0取l0m／s2，求火箭在该星球上的平均推力与其所受引力大小的比值。

15. 如图所示，要使卫星在预定的圆轨道上绕地球运动，一般是先用火箭将卫星送入近地点A、远地点为B的椭圆轨道上，实施变轨后再进入预定圆轨道.已知近地点A距地面高度为h1，在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：

（1）卫星在近地点A的加速度为多大?

（2）远地点B距地面的高度为多少?

【试题答案】

1. B2. A 3. B 4. A、D 5. A、D

6. A、B、D 7. B、C 8. B、C

9.（1）.（2）（3）

10. 或4.56 11. 1：6：6

12. 答案：（）2·（）3

13. 14. 2

15.（1） （2） h2=

【励志故事】

要懂得如何欣赏他人

一个人总能在某一处胜过别人，而在这一处上又总会有更强的人胜过他。学会欣赏每个人会让你受益无穷。智者尊重每一个人，因为他知道人各有其长，也明白成事不易。傻瓜都鄙视他人，一半出于无知，一半因为他所中意的总是最差的。

求离地任意高度重力加速度公式是什么?

设地球的质量为M

(1) F=G*M*m/4R^2

(2)重力约等于万有引力，设g‘为高度为R处得重力加速度，则

mg'=G*M*m/4R^2

得g'=G*M/4R^2

（3）由（1）（2）比较可得高处的重力加速度比较小。

重力加速度公式

这个可由万有引力定律求得.

设想有一个质量为m的物体,在离地面高度是h的地方,则由重力等于万有引力,得

mg＝GMm / (R＋h)^2　,M是地球质量,R是地球半径,G是引力常量

则离地高度是h处的重力加速度是　g＝GM / (R＋h)^2

注意到在地面上时,有　GM＝g0*R^2 　,g0是地面处的重力加速度

所以也可表示为　g＝g0*[ R / (R＋h) ]^2

重力加速度公式：g=GM/r^2。重力加速度是一个物体受重力作用的情况下所具有的加速度。也叫自由落体加速度，用g表示。方向竖直向下，其大小由多种方法可测定。

重力加速度是物理名词，通常指地面附近物体受地球引力作用在真空中下落的加速度，记为g。为了便于计算，其近似标准值通常取为980厘米/秒的二次方或9.8米/秒的二次方。在月球、其他行星或星体表面附近物体的下落加速度，则分别称月球重力加速度、某行星或星体重力加速度。

三要素

大小：与位置有关；（G=mg)（其中g=9.80665 m/s^2，为标准重力加速度）

方向：竖直向下；

作用点：重心

重力加速度g的方向总是竖直向下的。在同一地区的同一高度，任何物体的重力加速度都是相同的。重力加速度的数值随海拔高度增大而减小。当物体距地面高度远远小于地球半径时，g变化不大。而离地面高度较大时，重力加速度g数值显着减小，此时不能认为g为常数

距离面同一高度的重力加速度，也会随着纬度的升高而变大。由于重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供了物体绕地轴作圆周运动所需要的向心力。物体所处的地理位置纬度越高，圆周运动轨道半径越小，需要的向心力也越小，重力将随之增大，重力加速度也变大。地理南北两极处的圆周运动轨道半径为0，需要的向心力也为0，重力等于万有引力，此时的重力加速度也达到最大。

由于g随纬度变化不大，因此国际上将在纬度45°的海平面精确测得物体的重力加速度g=9.80665m/s^2作为重力加速度的标准值。在解决地球表面附近的问题中，通常将g作为常数，在一般计算中可以取g=9.80m/s^2。理论分析及精确实验都表明，随纬度增大，重力加速度g的数值逐渐增大。

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